Séance 15 - Systèmes de 2 équations à 2 inconnues

Sommaire

I- Système de 2 équations du premier degré à 2 inconnues

1-1/ Définition

1-2/ Exemples

II- Résolution algébrique d'un système de 2 équations à 2 inconnues

2-1/ Définition

2-2/ Méthodes de résolution d’un système

III- Résolution graphique d’un système de 2 équations à 2 inconnues

IV- Résolution de Problèmes

4-1/ Règle

4-2/ Exemple

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

5-5/ Exercice 5

5-6/ Exercice 6

5-7/ Exercice 7

I- Système de 2 équations du premier degré à 2 inconnues

1-1/ Définition

Soient a, b, c, a', b' et c' des nombres réels donnés et x et y deux nombres réels inconnus.

On appelle système de deux équations du premier degré à deux inconnues toute écriture de la forme :

$\left\{\begin{array}{l}ax+by+c=0\\ a\text{'}x+b\text{'}y+c\text{'}=0\end{array}\right.$

I- Système de 2 équations du premier degré à 2 inconnues

1-2/ Exemples

On considère les systèmes suivants :

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x+y-1=0\\ -3x-4y=-2\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x-3y=\frac{2}{3}\\ -3x+y+2=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\frac{x+2y}{2}-1=0\\ 3x+y=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

II- Résolution algébrique d'un système de 2 équations à 2 inconnues

2-1/ Définition

Résoudre un système de deux équations à deux inconnues x et y, c'est trouver tous les couples (x;y), s'ils existent pour lesquels les deux équations soient vraies simultanément.

II- Résolution algébrique d'un système de 2 équations à 2 inconnues

2-2/ Méthodes de résolution d’un système

Méthode par substitution

On utilise de préférence la méthode par substitution lorsque l’une des deux inconnues a pour coefficient 1 ou − 1

Exemple

$\left\{\begin{array}{l}3x-y=1\\ 2x+3y=19\end{array}\right.$

II- Résolution algébrique d'un système de 2 équations à 2 inconnues

2-2/ Méthodes de résolution d’un système

Méthode par combinaison linéaire

On utilise de préférence la méthode de combinaison linéaire dans les autres cas.

Exemple

$\left\{\begin{array}{l}-5x+4y=-1\\ 3x-2y=1\end{array}\right.$

III- Résolution graphique d’un système de 2 équations à 2 inconnues

Chaque équation d'un système est lié à une droite dont on doit déterminer l'équation réduite.

Cas 1 : deux droites sécantes en un point

Soit le système : $\left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ -3x+y=-2\end{array}\right.$

On considère les deux droites $\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$ tel que $\left(D\right): 2x-y=1$ et $\left(\Delta \right): -3x+y=-2$

Cherchons l’équation réduite de chaque droite ;

$$\begin{gathered} \left(D\right): y=2x-1 \\ \left(\Delta \right): y=3x-2 \end{gathered}$$

On remarque que les deux droites $\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$ n’ont pas le même coefficient directeur, donc elles se coupent en un point.

On va construire les deux droites $\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$ dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ :

On remarque que les deux droites $\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$ se coupent en $B(1;1)$.

Donc le système admet une unique solution, c’est le couple $(1;1)$.

III- Résolution graphique d’un système de 2 équations à 2 inconnues

Cas 2 : deux droites confondues

Soit le système : $\left\{\begin{array}{l}2x+y=1\\ 4x+2y=2\end{array}\right.$

On considère les deux droites $\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$ tel que $\left(D\right): 2x+y=1$ et $\left(\Delta \right): 4x+2y=2$

Cherchons l’équation réduite de chaque droite ;

$$\begin{gathered} \left(D\right): y=-2x+1 \\ \left(\Delta \right): y=-2x+1 \end{gathered}$$

On remarque que les deux droites $\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$ ont la même équation réduite.

Alors le système admet une infinité de solutions.

III- Résolution graphique d’un système de 2 équations à 2 inconnues

Cas 3 : deux droites strictement parallèles

Soit le système : $\left\{\begin{array}{l}3x+y=5\\ 6x+2y=-1\end{array}\right.$

On considère les deux droites $\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$ tel que $\left(D\right): 3x+y=5$ et $\left(\Delta \right): 6x+2y=-1$

Cherchons l’équation réduite de chaque droite ;

$$\begin{gathered} \left(D\right): y=-3x+5 \\ \left(\Delta \right): y=-3x-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

On remarque que les deux droites $\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$ ont le même coefficient directeur.

Donc les deux droites sont parallèles.

IV- Résolution de Problèmes

4-1/ Règle

La résolution d'un problème se déroule en 4 étapes :

1. Choisir des inconnues.
2. Mise en système d’équations.
3. Résolution du système.
4. Retour au problème.

IV- Résolution de Problèmes

4-2/ Exemple

Un Musée propose un tarif pour les adultes à 9DH et un autre pour les enfants à 5DH.

Lors d’une journée, ce Musée a reçu la visite de 70 personnes et la recette totale a été de 510DH.

• Retrouve le nombre d’adultes et le nombre d’enfants ayant visité le musée lors de cette journée.

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

En utilisant la méthode de la substitution résoudre les systèmes d’équations :

$$\begin{gathered} \overline{)A} \left\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ 2x-4y+2=0\end{array}\right. \\ \overline{)B} \left\{\begin{array}{l}3x+y=5\\ 2x-5y=9\end{array}\right. \\ \overline{)C} \left\{\begin{array}{l}2x+y-7=0\\ -4x-2y=-14\end{array}\right. \end{gathered}$$

V- Exercices

5-2/ Exercice 2

En utilisant la méthode de la combinaison linéaire, résoudre les systèmes d’équations :

$$\begin{gathered} \overline{)A} \left\{\begin{array}{l}2x+y=3\\ 3x-2y-2=0\end{array}\right. \\ \overline{)B} \left\{\begin{array}{l}x+2y=1\\ -x+4y=3\end{array}\right. \\ \overline{)C} \left\{\begin{array}{l}-3x+2y=1\\ 6x-4y+5=0\end{array}\right. \\ \overline{)D} \left\{\begin{array}{l}x+2y-1=0\\ -2x-4y+2=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

V- Exercices

5-3/ Exercice 3

$(O,I,J)$ est un repère orthonormé.

$\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$ sont deux droites définies par $\left(D\right): y=5x-3$ et $\left(\Delta \right): y=-3x+13$

On considère le système : $\left(S\right) \left\{\begin{array}{l}3x+y=13\\ -5x+y=-3\end{array}\right.$

1. Tracer les deux droites $\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$.

2. Déduire graphiquement la solution du système $\left(S\right)$.

3. Déterminer algébriquement l’intersection de ces droites.

V- Exercices

5-4/ Exercice 4

Résoudre graphiquement les systèmes d’équations :

$$\begin{gathered} \overline{)A} \left\{\begin{array}{l}-3x-2y=-3\\ 6x+4y=1\end{array}\right. \\ \overline{)B} \left\{\begin{array}{l}3x+y=1\\ 6x+2y=2\end{array}\right. \\ \overline{)C} \left\{\begin{array}{l}-x+y+3=0\\ 2x-y-4=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

V- Exercices

5-5/ Exercice 5

On considère le système $\left(S\right) \left\{\begin{array}{l}x+2y=9\\ x+3y=13\end{array}\right.$

1. Le couple $\left(5;2\right)$ est-il solution du système $\left(S\right)$ ? Justifier.

2. Résoudre le système $\left(S\right)$.

3. Déduire la résolution du système $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+2y^2=9\\ \sqrt{x}+3y^2=13\end{array}\right.$

V- Exercices

5-6/ Exercice 6

Déterminer 2 nombres sachant que leur somme fait 48 et leur différence 22.

V- Exercices

5-7/ Exercice 7

A la terrasse d’un café, Othman et ses amis consomment 4 cafés et 3 jus de fruit. Ils payent 123 DH.

A la table voisine, Ayoub et ses amis consomment 3 cafés et 1 jus de fruit. Ils payent 61 DH.

1. Déterminer le prix d’un café et celui d’un jus.