• 1

    التمرين 1

    المتتاليات العادية

    نعتبر المتتالية العددية un المعرفة بما يلي: u0=2 وun+1=116un+1516 لكل n من

    1

    أ بين بالترجع أن un>1 لكل n من

    ب تحقق من أن un+1-un=-1516un-1 لكل n من ثم بين أن المتتالية un تناقصية

    ج استنتج أن المتتالية un متقاربة

    2 لتكن vn المتتالية العددية بحيث vn=un-1 لكل n من

    أ بين أن vn متتالية هندسية أساسها 116 واكتب vn بدلالة n

    ب بين أن un=1+116n لكل n من ثم حدد نهاية المتتالية un

  • 2

    التمرين 2

    الهندسة الفضائية

    نعتبر، في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم O,i,j,k، النقطتين A1,3,4 و B0,1,2

    1

    أ بين أن OAOB=2i-2j+k

    ب بين أن 2x-2y+z=0 هي معادلة ديكارتية للمستوى OAB

    2 لتكن الفلكة S التي معادلتها x2+y2+z2-6x+6y-6z+2=0

    بين أن مركز الفلكة S هو النقطة Ω3,-3,3 وشعاعها 5

    3

    أ بين أن المستوى OAB مماس للفلكة S

    ب حدد مثلوث إحداثيات H نقطة تماس المستوى OAB والفلكة S

  • 3

    التمرين 3

    الأعداد العقدية

    1 حل في مجموعة الأعداد العقدية  المعادلة z2-8z+41=0

    2 نعتبر، في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم O,u,v،النقط A وB وC وΩ التي ألحاقها على التوالي هي a وb وc وω بحيث a=4+5i وb=3+4i وc=6+7i وω=4+7i

    أ احسب c-ba-b واستنتج أن النقط A وB وC مستقيمية

    ب ليكن z لحق نقطة M من المستوى وz' لحق النقطة M' صورة M بالدوران R الذي مركزه Ω وزاويته -π2

    بين أن z'=-iz-3+11i

    ج حدد صورة النقطة C بالدوران R ثم أعط شكلا مثلثيا  للعدد a-ωb-ω

  • 4

    التمرين 4

    حساب الاحتمالات

    يحتوي صندوق على 10 كرات تحمل الأعداد: 1 و2 و2 و3 و3 و3 و4 و4 و4 و4 (لا يمكن التمييز بين الكرات باللمس)

    نعتبر التجربة التالية: نسحب عشوائيا بالتتابع وبدون إحلال كرتين من الصندوق

    1 ليكن A الحدث:"الحصول على كرتين تحملان عددين زوجيين”

    بين أن: pA=13

    2 نكرر التجربة السابقة ثلاث مرات بحيث نعيد الكرتين المسحوبتين إلى الصندوق بعد كل تجربة

    ليكن X المتغير العشوائي الذي يساوي عدد المرات التي يتحقق فيها الحدث A

    بين أن pX=1=49 ثم حدد قانون احتمال المتغير العشوائي X

  • 5

    التمرين 5

    دراسة دالة عددية وحساب التكامل

    I لتكن g الدالة العددية المعرفة على ]0,+[ بما يلي: gx=2x-1+2lnx

    الجدول جانبه هو جدول تغيرات الدالة g على ]0,+[

    1 احسب g1

    2 استنتج انطلاقا من الجدول أن: gx>0 لكل x من ]0,+[

    II نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ]0,+[ بما يلي: fx=3-3x+2x+1lnx

    وليكن Cf المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم O,i,j (الوحدة: 2 cm )

    1 بين أن limx0+fx=- وأعط تأويلا هندسيا لهذه النتيجة

    2

    أ بين أن limx+fx=+ (لحساب النهاية يمكنك كتابة fx على الشكل

    fx=x3x-3+21+1xlnx)

    ب بين أن المنحنى Cf يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور الأراتيب بجوار +

    3

    أ بين أن f'x=gx لكل x من ]0,+[

    ب استنتج أن الدالة f تزايدية قطعا على ]0,+[ ثم ضع جدول تغيرات الدالة f على ]0,+[

    4

    أ بين أن I1,0 نقطة انعطاف للمنحنى Cf

    ب بين أن y=x-1 هي معادلة ديكارتية للمستقيم T مماس المنحنى Cf في النقطة I

    ج أنشئ، في نفس المعلم O,i,j، المستقيم T والمنحنى Cf

    5

    أ بين أن 121+x2dx=74

    ب باسعمال مكاملة بالأجزاء، بين أن 12x+1lnxdx=4ln2-74

    ج احسب، ب cm2، مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى Cf ومحور الأفاصيل والمستيقمين الذين معادلتاهما x=1 وx=2

    6 حل مبيانيا المتراجحة x+1lnx32x-1 بحيث x]0,+[